平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

　　【学习目标】

　　1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

　　2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

　　3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

　　4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。

　　【学习要点】

　　1、向量概念

　　________________________________________________________叫零向量，记作 ；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。

　　规定： 与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。

　　2、向量加法

　　求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。

　　3、向量减法

　　向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

　　4、实数与向量的积

　　实数 与向量 的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。

　　5、两向量共线的充要条件

　　向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得__________。

　　【典型例题】

　　例1 在四边形ABCD中， 等于 （ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　例2 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则 、 表示向量 为 （ ）

　　A、 + B、 — C、— + D、— —

　　例3 设 、 是两个不共线的向量，则向量 与向量 共线的充要条件是 （ ）

　　A、 0 B、 C、 1 D、 2

　　例4 下列命题中：

　　（1） = ， = 则 =

　　（2）| |=| |是 = 的必要不充分条件

　　（3） = 的充要条件是

　　（4） = （ ）的充要条件是 =

　　其中真命题的有__________________。

　　例5 如图5-1-1，以向量 ，为边作平行四边形AOBD，又 ，，用 、 表示 、 和 。

　　【课堂练习】

　　1、 （ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　2、“两向量相等”是“两向量共线”的（ ）

　　A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

　　C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

　　3、 已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 等于 （ ）

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、

　　4、若| |=1，| |=2， =且 ，则向量 与 的夹角为（ ）

　　A、300 B、600 C、1200 D、1500

　　【课堂反思】

　　2.2 平面向量的坐标运算

　　【学习目标】

　　1、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

　　2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

　　3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。

　　【学习过程】

　　1、平面向量基本定理

　　如果 、 是同一平面内的两个 的向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 使 ，其中不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。

　　2、平面向量的正交分解及坐标表示

　　把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与 轴、 轴正方向相同的两个 向量 、 作为基底，对任一向量 ，有且只有一对实数 、 使得 ，则实数对（ ， ）叫做向量 的直角坐标，记作 = ，其中 、 分别叫做 在 轴、 轴上的坐标， 叫做向量 的 表示。相等向量其坐标 ，坐标相同的向量是 向量。

　　3、平面向量的坐标运算

　　（1）若 = ， = ，则 =

　　（2）若A ，B ，则

　　（3）若 =（ ， ），则

　　4、平面向量共线的坐标表示

　　若 = ， = ， 则 // 的充要条件是

　　5、若 ，其中 ，则有：

　　【典型例题】

　　例1 设 、 分别为与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量，若 则向量 的坐标是（ ）

　　A、（2，3） B、（3，2） C、（—2，—3） D、（—3，—2）

　　例2 已知向量 ，且 // 则 等于( )

　　A、 B、— C、 D、—

　　分析 同共线向量的充要条件易得答案。

　　例3 若已知 、 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

　　A、 与— B、3 与2 C、 + 与 — D、 与2

　　例4 已知 当实数 取何值时， +2 与2 —4 平行？

　　【课堂练习】

　　1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若 且

　　则 ____________, _________________。

　　2、已知点A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 其中 等于( )

　　A、2 B、 C、—3 D、

　　3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A 若点C满足 ，其中 、 且 + 则点C的轨迹方程为 ( )

　　A、 B、

　　C、 D、

　　4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求点M、N的坐标及向量 的坐标。

　　【课堂反思】

　　2.3 平面向量的数量积及其运算

　　【学习目标】

　　1．知识与技能：

　　（1）理解向量数量积的定义与性质；

　　（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；

　　（3）掌握向量数量积的运算律；

　　（4）理解两个向量的夹角定义；

　　2．过程与方法：

　　（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；

　　（2）能区别数乘向量与向量的数量积；

　　（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；

　　3．情感、态度与价值观：

　　（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；

　　（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；

　　（3）培养数形结合的数学思想；

　　【学习过程】

　　1、请写出平面向量的坐标运算公式：

　　（1）若 = ， = ，则 =

　　（2）若A ，B ，则

　　（3）若 =（ ， ），则

　　2、平面向量共线的坐标表示

　　若 = ， = ， 则 // 的充要条件是

　　3、两个非零向量夹角的概念

　　已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则_________________________叫 与 的夹角.

　　4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=

　　5、数量积的概念：

　　（1）两个非零向量 、 ，过O作 = ， = ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，显然，夹角

　　（2）若 与 的夹角为90 ，则称 与 垂直，记作 ⊥

　　（3） 、 是两个非零向量，它们的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积（或内积），记作 。

　　即 =| || |cos

　　规定 =0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。

　　特别提醒：

　　（1）（０≤θ≤π）.并规定 与任何向量的数量积为0

　　（2）两个向量的数量积的性质：

　　设 、 为两个非零向量，

　　1)  = 0

　　2)当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |

　　特别的 = | |2或.

　　3)cos = ；

　　4)| | ≤ | || |

　　6、“投影”的概念：如图

　　定义： _____ _______叫做向量b在a方向上的投影

　　特别提醒：

　　投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|

　　3、平面向量数量积的运算律

　　交换律： =______

　　数乘结合律： =_________=__________

　　分配律： =_____________

　　【典型例题】

　　例1 边长为 的正三角形ABC中，设 ， ， 则=

　　例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面积 ，且| |=3，| |=5，则 与 的夹角为

　　例3 已知 =（1，2）， =（6，—8）则 在 上的投影为

　　【课堂练习】

　　1、已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 那么 =

　　2、已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ， ，求 及 与 的夹角 。

　　3、若 ， ，且向量 与 垂直，则一定有( )

　　A、 B、 C、 D、 且

　　4、设 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题

　　①

　　②

　　③ 不与 垂直

　　④

　　其中正确的有（ ）

　　A、①② B、②③ C、③④ D、②④

　　5、已知平面上三点A、B、C满足 ，则

　　的值等于____ ______

　　【课后反思】

　　2.4 平面向量的应用

　　【学习目标】

　　一、知识与技能

　　1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力

　　2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力

　　二、过程与方法

　　1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题

　　2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行 之有效的工具；和同学一起方法，巩固强化.[来源:学科网]

　　三、情感、态度与价值观

　　1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.

　　2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知 识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

　　【学习过程】

　　请认真思考后，回答下列问题：

　　1、判断：

　　（1）若 四点共线，则向量 （ ）

　　（2）若向量 ，则 四点共线（ ）

　　（3）若 ，则向量 （ ）

　　（4）只要向量 满足 ，就有 （ ）

　　2、提问：

　　（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

　　（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

　　【典型例题】

　　例1 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC长．

　　变式 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，点D在线段BC

　　上，且BD=2DC求AD长．

　　例２ 如图，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，求∠MPN．

　　【课堂练习】

　　⊿ABC中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G

　　（1）求证：AG=2GD

　　（2）若F为AB中点，求证G、F、C三点共线．