概率论论文

　　概率论论文（一）：

　　《概率论与数理统计》论文

　　摘要

　　概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。

　　概率论的发展与起源

　　1.1概率论的定义[]

　　概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象

　　而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究

　　与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。

　　在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和

　　统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。

　　1.2课题背景及研究的目的和好处

　　现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息

　　成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。

　　1.3概率论的发展

　　1.3.1概率论的早期雏形

　　早在原始社会，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个

　　趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这个能够说是概率事件最早的雏形了，然而由于趾骨的大小形状不同，每个事件发生的概率并不是完全相等。

　　与其基本原理相类似的就是掷骰子。在16世纪，赌博中的偶然现象就开始

　　引起人们的注意，数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现必须的规律性，卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数。

　　1564年，卡尔扎诺，利用自己的智慧和赌博经验，用拉丁文写成著名的《论

　　机会游戏》，揭示了赌博中的不确定性原理，成为概率论前史中的重要人物。书中，卡尔扎诺强调赌博的基本原则是同等条件，“如果它们有利于对手，那么你是傻瓜，如果有利于自己，那么你就不公平”。骰子就应是“诚实的”，几个诚实的骰子联合起来仍然是诚实的，下注就应根据这种诚实性。等可能思想的提出是卡尔扎诺的贡献之一，为理解和解决复杂的赌博问题带给了依据。他定义了胜率(有利结果数与不利结果数之比)表示机会的大小，计算出了多种赌博的全部可能结果数和有利结果数，由于当时组合数学还很贫乏，他的计算在方法上与《维图拉》基本相同。卡尔扎诺还思考了独立事件的乘法法则，在一番错误推理后他发现了正确方法，例如一次的胜率是3:1，连续两次的胜率是9:7。卡尔扎诺是第一个深入讨论概率问题的人，他提出了思考随机问题的基本原则，建立了胜率概念和一些运算法则，对概率理论的构成具有开创性贡献。然而令人惋惜的是，这本书在他死后很长时间才出版，此前惠更斯的《论赌博中的计算》已经刊世，这对卡尔扎诺的学术影响有很大的削弱。

　　1.3.2概率论的构成期

　　现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。那时正值欧

　　洲文艺复兴时期，工业革命开始发展。随之而来的航海事业的天气预报，工业生产的误差预估，商业发展的贸易问题，加上人们对患病率、死亡率、自然灾害等问题的不断关注，人们急需一门分析研究随机现象的数学学科，故概率论应社会实际需求的时候到了。

　　在这个时期最著名的故事当属分赌注问题。法国一位贵族梅累向法国数学

　　家、物理学家帕斯卡提出了一个十分搞笑的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱就应怎样分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没到达，所以就一人分一半呢？

　　这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4，赢了3局的拿这个钱的1／4。

　　为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱就应全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱就应对半分。此刻，A赢、输的可能性都是1／2，所以，他拿的钱就应是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，当然，B就就应得1／4。

　　这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64金币的。

　　透过这次讨论，开始构成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。

　　在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱这天就应怎

　　么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，多数人以帕斯卡与费马的通信作为概率论学的起源。

　　1.3.3概率论的正式构成和发展时期

　　18世纪是概率论的正式构成和发展时期。

　　1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括。继贝努利之后，法国数学家棣谟佛于1781年发表了《机遇原理》。书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础。1706年法国数学家蒲丰的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何

　　概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试。

　　透过贝努利和棣谟佛的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就

　　把概率论的特殊发展同数学的一般发展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支。

　　概率论问世不久，就在应用方面发挥了重要的作用．牛痘在欧洲大规模接种

　　之后，曾因副作用引起争议。这时贝努利的侄子丹尼尔·贝努利根据超多的统计资料，做出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》，《关于孤儿保险》等文章；泊松（Poisson）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率研究报告》．总之，概率论在18世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践好处。

　　1.3.4概率论的发展时期

　　拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的经典著作《分析概率论》。这部著作对十

　　八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结，资料包括几何概率、贝努里定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义，证明了中心极限定理中的德莫哇佛

　　严密地，系统地奠定概率论基础的第一个人。

　　1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系。1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此，更现代好处上的完整的概率论臻于完成。

　　1.3.4现代概率论时期

　　二十世纪以来，概率论有了很大的发展。

　　随机过程产生是近代概率论发展的重要标志之一。古典概率论主要研究随机事件的概率或随机变量的分布，而现代概率论则主要研究无穷多个随机变量的集合，即研究随机过程。继马尔可夫链产生后，柯尔莫哥洛夫建立了马尔科夫过程的一般理论;美国数学家维纳由于研究控制论的需要，首先讨论了平稳过程的预测理论;1934年，苏联数学家辛钦建立了平稳随机过程理论;1937年，克拉梅尔开始研究随机过程的统计理论;美国数学家杜勃进一步研究随机过程，在经典理论上做了发展性的工作。

　　1955年，在美国数学年会上，第一次提出了“应用概率”。这种应用性很强的研究方向，在社会科学数量化、精确化中;在日益需要的自动控制和管理学中，越来越受到人们的重视。应用概率的诸分支又有:排队论、可靠性理论、马尔科夫决策规划、对策论、信息论、随机规划等等，还有与其它学科的结合分支:生物统计、药学统计、军事统计、气象统计、水文统计等等。

　　1.4结语

　　纵观概率论发展，能够看出概率论学在实际应用社会发展中具有重要地位，随着科学技术的发展，概率论的理论与应用也将得到更大的发展。

　　概率论论文（二）：

　　论文题目:概率论与生活

　　关键词:数理统计，实际应用

　　概述:

　　概率论与生活有着密不可分的联系，它是明白生活规律，统领生活资料的一门基础学科，概率论与生活息息相关，是我们大学学习乃至人生生活的一门极其重要的学科。

　　正文:

　　十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情务必中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。

　　帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一齐，研究了德美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

　　三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

　　概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的'大数定律'。所谓'大数定律'，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这必须理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

　　为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

　　20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

　　此刻，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它资料丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。

　　数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所思考的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动带给依据或推荐。

　　数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动(公元前2250年，大禹治水，根据山川土质，人力和物力的多寡，分全国为九州;殷周时代实行井田制，按人口分地，进行了土地与户口的统计;春秋时代常以兵车多寡论诸侯实力，可见已进行了军事调查和比较;汉代全国户口与年龄的统计数字有据可查;明初编制了黄册与鱼鳞册，黄册乃全国户口名册，鱼鳞册系全国土地图籍，绘有地形，完全具有现代统计图表的性质(可见，我国历代对统计工作十分重视，只是缺少系统研究，未构成专门的著作。

　　在西方各国，统计工作开始于公元前3050年，埃及建造金字塔，为征收建筑费用，对全国人口进行普查和统计(到了亚里土多德时代，统计工作开始往理性演变。这时，统计在卫生、保险、国内外贸易、军事和行政管理方面的应用，都有详细的记载(统计一词，就是从意大利一词逐步演变而成的。

　　现代时期(1945年以后)，美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德(1902，1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化，取得了很多重要成果(他发展了决策理论，提出了一般的判别问题(创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法(瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》，被认为是数理发展史上的经典之作(

　　由于计算机的应用，推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科，如最优设计和非参数统计推断等。

　　当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具。

　　财富，是人类奋斗的一种动力，概率论也就是在有需要的时候才诞生的，也就是在人类不断的需求中才不断的成长的～延至至今，仍然是这样，概率论一向被人所着迷，它迷人的地方是;它能够为人们创造“奇迹”，把一些频率出现的事，控制或预知在必须范围内，从而掌握财富或命运。

　　概率论论文（三）：

　　论概率论和金融学的结合

　　论文摘要:对现代金融数学的发展进行了较详细的综述，并就其研究动态及发展趋势进行了分析。

　　论文关键词:金融数学；概率论；鞅理论；最优停时理论

　　一、引言

　　现代金融理论伴随着金融市场的发展超多应用概率统计，这是经济数学化的最大成就，从而出现了一个全新的学科—-金融数学。金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心，主要研究风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选取。近二十几年来，金融数学不仅仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估（如实物期权）以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。此刻对它的研究方兴未艾，21世纪肯定是它进一步蓬勃发展的时代。

　　二、金融数学的历史进展

　　金融数学的历史能够追溯到1900年法国数学家巴谢利耶(L·Bachelier)的博士论文—“投机的理论”(TheoryofSpeculation)，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、卖者看跌，其价格的波动是布朗运动(BrownianMotion)其统计分布是正态分布，这要比爱因斯坦1905年研究布朗运动早5年。

　　然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。20世纪50年代初，萨缪尔森（PaulA.Samuelson）透过统计学家萨维奇（L·J.Savage）重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，马尔柯维茨（H.Markowitz，1952）发表了他的博士论文，提出了“资产组合选取的均值方差理论”.它的好处是将原先人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述“均值方差理论”的主要思想，我们能够将它看成是一个带约束的最优化问题。稍后，夏普（W.F.Sharpe，1964）和林特纳（J.Lintner，1965）进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了“资本资产定价模型”（capitalassetpricingmodel，简称CAPM）。它的要点是确定每一个股票和整个市场的相关性，于是，对于上述最优化问题，每个股票的持有量能够由该股票的平均回报率和该股票与市场的相关系数来确定。

　　值得一提的是20世纪60年代的另一个有影响的工作是萨缪尔森（Samuelson，1965）和法马（E.Fama，1965）的“市场有效性假设”（efficientmarkethypothesis），这本质上是对于市场完备性的某种描述。他们证明，在一个运作正常的市场中，资本价格过程是一个（下）鞅，换句话说，将来的收益状况实际上是不可测的，这项工作实际上为第二次革命做了铺垫。费希尔（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的历史数据检测了“市场有效性假设”。他们的结果证明，在这段时间里，随机的选取股票并且持有，其平均回报率为每年9.4％，它要比一般的专业经纪人为他们的顾客运作所获得的赢利来得高。

　　金融数学的第二次革命发生在1973年。那年，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯（F.BlackandM.Scholes，1973）发表了著名的Black-scholes公式，给出了欧式期权定价的显示表达式。默顿和斯科尔斯在纪念布莱克的一篇文章（Mertonandscholes，1995）中叙述了当年布莱克和斯科尔斯的文章被理解的困难程度，其原因是他们的工作超前了那个时代。

　　不久，默顿获得了另一种推导方法，并且给以了推广。1979年，考克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox，Ross，andRubinstein，1979）发表了二叉树模型；同时哈里森和克雷普斯（HarrisonandKreps）提出了多时段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（HarrisonandPliska，1981）提出了等价鞅测度（这与“市场有效性假设”有密切的关系）。这些工作本质上是为了风险管理这个主题服务的。

　　三、现代金融数学的发展趋势

　　（一）金融数学的一些新问题

　　金融数学的两大突破都用到了十分深刻的数学工具。前者需要近20年发展起来的随机分析;后者更是为数学家提出了许多新问题。如美式期权问题、亚洲期权问题、利率的期限结构问题、市场的波动与突发事件问题，等等。在理论研究上，模型的进一步修正是一个需要深入研究的问题。在应用研究上，如何针对具体的金融问题设计新的期权也不是所有期权都会有精确的定价公式。如何做各种近似计算各类保险合同实际上也是一种特殊的期权。如何应用于保险事件最重要的是结合中国的金融实际还有许多宏观与微观的经济问题需要解决。

　　（二）概率论在金融数学中最新的理论发展

　　1、鞅理论

　　现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在市场是有效的假定下，证券的价格能够等价于一个鞅随机过程。由Karatzas和Shreve等人倡导的鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中，利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题，得到的结果不仅仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且能够带给一套有效的算法，求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位，但在国内还是一个空白。

　　2、最忧停时理论

　　最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域，他的蓬勃发展是60年代以后的事。近几年，在国内也有一些学者开始热心这一领域的研究，而且取得了可喜的成果运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的证券投资决策问题，给出了具有二个风险证券的投资决策问题一种简化算法。在国内有关这方面的研究尚不多见，相信运用最优停时理论来研究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。

　　四、结束语

　　金融与数学的结合越来越引起国际金融界和数学界的关注。金融数学也已经开始在我国得到了越来越广泛的重视。所以更应鼓励数学系学生去考经济金融研究生;增加经济和金融专业数学资料(而不是减少)，鼓励专家学者“下海”，以构成高素质的新型企业家、银行家集团，为我国的金融体制改革，以及我国金融市场与国际金融市场接轨、参与国际金融市场竞争，做出应有的贡献。

　　参考文献：

　　[1]刘海龙，德惠.人文科学与自然科学的交叉研究:金融学中的数理方法综述.东北大学学报，1999，（4）

　　[2]劳汉生.数理金融学:21世纪概率论和金融学结合的一个研究热点[J].中国统计，1999，(9)

　　[3]（美）JosephStampfli，VictorGoodman著，蔡明超译.金融数学.机械工业出版社.2004.

　　概率论论文（四）：

　　概率归纳逻辑的兴起

　　论文关键词：概率归纳；逻辑；概率论

　　论文摘要：从穆勒等人对或然性的探讨，经耶方斯对概率归纳逻辑的开创，到卡尔纳普代表的现代概率归纳逻辑体系，考察了概率归纳逻辑的发展历程，从中揭示其兴起的原因，并分析现代归纳逻辑发展的一些新趋势。

　　概率归纳逻辑旨在以数学的概率论和现代演绎逻辑为工具构造归纳逻辑的形式演绎系统，是现代归纳逻辑的主要发展方向。

　　一、概率归纳逻辑的开创

　　18世纪40年代，休谟指出归纳推理不具有逻辑必然性，认为它只把真前提同可能的结论相联系，是主观的、心理的，不曾想到当时概率论所揭示的或然性的客观好处及其对归纳的可能应用。穆勒在《逻辑体系》中以很大篇幅讨论了偶然性问题，认为概率论只同经验定律的建立有关，而与作为因果律的科学定律的建立无关。惠威尔也对偶然性作过讨论，但与穆勒一样，并未想到把概率论应用于归纳。直到1859年，德国化学家本生（R.W.Bunsen）和基尔霍夫（G.R.Kirchoff）用统计方法分析太阳光谱的元素组成等科学活动，进一步引起科学方法论家对统计推理问题的注意。许多科学方法论家认为科学结论不是确定的，而是或然的，开始尝试把归纳还原为概率论。

　　最早将归纳同概率相结合的是德摩根和耶方斯。德摩根将一般除法定理和贝叶斯定理应用于科学假说。但是布尔（Boole）抓住了它的缺点，即运用贝叶斯推理给科学假说的概率带来更大的任意性，至此否定了概率归纳逻辑的方向。在70年代耶方斯作出重大开创性工作之前，这方面的工作基本趋于沉寂。耶方斯发展了布尔代数，他一方面有着关于归纳本质的方法论思考，另一方面，他将数学应用于发展演绎逻辑的同时，也将数学应用于发展归纳逻辑。他在《科学原理》中说明：“如果不把归纳方法建立于概率论，那么，要恰当地阐释它们便是不可能的。”[1]耶方斯认为一切归纳推理都是概率的。

　　耶方斯的工作实现了古典归纳逻辑向现代归纳逻辑的过渡。

　　二、现代概率归纳逻辑

　　现代概率归纳逻辑始于20世纪20年代，逻辑学家凯恩斯、尼科（Nicod）及卡尔纳普和莱欣巴赫（Reichenbach）等人，采用不同的确定基本概率的原则及对概率的不同解释，构成不同的概率归纳逻辑学派。

　　凯恩斯将概率与逻辑相结合，认为归纳有效度和合理性的本质是一个逻辑问题，而不是经验的或形而上学的问题。他提出了“概率关系”的概念：假设任一命题集合组成前提h，任一命题集合组成结论a，若由知识h证实a的合理逻辑信度为α，我们称a和h间的“概率关系”的量度为α，记作a/h=α。并着眼于构造两个命题间的逻辑关系的合理体系，但未取得成功。而且他认为，大多数概率关系不可测，许多概率关系不可比较。但他在推进归纳逻辑与概率理论的结合上，作出了历史性的贡献，是现代归纳逻辑的一位“开路先锋”。

　　逻辑主义的概率归纳逻辑的代表卡尔纳普，在20世纪50年代提出概率逻辑系统，这一体系宣告了归纳逻辑的演绎化、形式化和定量化，将概率归纳逻辑推向了“顶峰”。卡尔纳普认为休谟说的归纳困难并不存在，归纳也是逻辑，并且也有像演绎一样的严格规则。施坦格缪勒（Stegmuller）指出：“2500年前，亚里士多德开始把正确的演绎推理的规则昭示世人，同样，卡尔纳普此刻以精确表述归纳推理的规则为己任。”[2]演绎的逻辑基础在于它的分析性，所以，从维特根斯坦和魏斯曼（Waismann）就开始致力于把它改造为逻辑的概率概念，以使概率归纳成为分析性的。卡尔纳普完成了这一发展。他说：“我的思想的信条之一是，逻辑的概率概念是一切归纳推理的基础……因此，我称逻辑概率理论为‘归纳逻辑’。”[3]他并把此概念直接发展为科学的推理工具：“我相信，逻辑概率概念应当为经验科学方法论的基本概念，即一个假说为一给定证据所确证的概念带给一个精确的定量刻画。因此，我选用‘确证度’这个术语作为逻辑概率刻画的专门术语。”[3]与凯恩斯一样，卡尔纳普把概率1解释作句子e和h间的逻辑关系，表达式是c(h，e)=r，读作“证据e对假说h的逻辑确证度是r”。这样，归纳便是分析性的了，演绎推理是完全蕴涵，归纳推理是部

　　分蕴涵，即归纳是演绎的一种特例。此外，卡尔纳普所想要的归纳逻辑还是定量的，他期望最终找到足够多的明确而可行的规则，使C(e，h)的计算成为只是一种机械的操作，以将他与凯恩斯严格区分开来。

　　20世纪30年代，莱欣巴赫建立了他的概率逻辑体系，被称为经验主义的概率归纳逻辑。他用频率说把概率定义为，重复事件在长趋势中发生的相对频率的极限。这种方法简单实用，但却带来两方面的困难。首先，上述极限定义是对于无数次重复事件的概率而言的。那如何找出一种测定假说真假的相对频率的方法呢？其次，对单一事件或单一假说怎样处理呢？所以频率说只适用于经验事件的概率，其合理性的辩护十分困难。它所面临的最大困难就是找不到由频率极限过渡到单个事件概率的适当途径。为此，莱欣巴赫推荐把“概率”概念推广到虚拟的、平均化的“单个”事件，引进了单个事件的“权重（Weight）”概念，试图把理想化的单个事件的概率或“权重”事先约定与对应的同质事件的无限序列的极限频率视作同一。但这与他的初衷相背，频率论者不得不由原先主张的客观概率转向主观概率了。

　　对概率的前两种解释都着眼于概率的客观量度，然而对随机事件的概率预测离不开主观的信念与期望。主观主义概率归纳逻辑发端于20世纪30年代，创始人是拉姆齐（F.P.Ramsey）和菲尼蒂（DeFinetti）。它将概率解释为“合理相信程度”或“主体x对事件A的发生，或假说被证实的相信程度。”证明，如果按贝叶斯公理不断修正验前概率，那么无论验前概率怎样，验后概率将趋于一致；这样，验前概率的主观性和任意性就无关紧要了，因为它们终将淹没在验后概率的客观性和确定性之中。一个人对被检验假设的验前概率是由他当时的背景知识决定的。

　　主观概率充分注意到推理的个人意见及心理对于概率评价的相关性，好处重大。但是，人们在做出置信函项时，除了“一贯性”的较弱限制外，很难在多种合理置信函项间作出比较和选取。

　　三、概率归纳逻辑兴起的原因

　　概率归纳逻辑是伴随现代科学、现代演绎逻辑、归纳逻辑本身的发展而兴起的。

　　概率归纳逻辑兴起的原因大致有：（1）现代科学的发展。对微观粒子的运动只能采用概率的方法，因此，西方科学界出现了否定因果决定论而理解概率论的观念。（2）较完备的概率理论。个性是20世纪以来，它具备了严格的数学基础，而且被广泛应用于各种领域。（3）归纳逻辑本身要求进一步完善和精确化。人们要求对单称事件陈述对全称理论陈述的归纳支持作出量的精确刻画。逻辑的数学化，数学的逻辑化，穆勒已经注意到归纳与概率的关系，耶方斯等将归纳与概率结合。（4）以数理逻辑为主干的现代演绎逻辑逐渐成熟，从而使得一些逻辑学家热衷于将现代演绎的形式化、公理系统方法与概率论方法协调起来，以运用于归纳逻辑的研究。（5）对归纳法的合理性问题的探索。休谟的归纳问题一向是个哲学难题。现代归纳逻辑的种种体系，几乎都能够看成是对这个问题不断作出回答。上述三种概率归纳逻辑体系也无例外，都是为求得归纳推理的合理性，或对归纳论证进行改善，或把结论改成概率的陈述，使归纳逻辑被构造成演绎逻辑的一个分支，或用实用主义策略使归纳即使不是有效的，至少也有存在的理由。所以说概率逻辑是以现代演绎逻辑和概率论为工具，形式化、定量化的归纳逻辑。

　　20世纪50年代以后，科学技术步入一个新的阶段，概率论与数理统计、数理逻辑等相关学科取得新的发展，个性是计算机科学技术以及多学科交叉发展的趋势，使现代归纳逻辑的研究进入到一个新阶段，出现了一些新的趋势和特点。

　　第一，面临归纳演绎化的困难，出现了非概率化、非数量化的趋势，有的用有序化、等级化来代替，有的将定性的研究重新放到重要的位置上，有的又再度重视如模态、因果概念的结合使用等等。

　　第二，将主观因素与客观因素相结合，将纯逻辑研究与其他学科相结合。这就不能只限于语构层次，而要思考语义、语用层次，就要涉及心理学、社会学等方面的研究。而且不能脱离所涉及的具体过程（实验）与学科。

　　第三，对归纳逻辑的研究与整个思维科学、信息科学的研究联系起来。归纳是一类复杂性问题，决不是单靠纯逻辑所能解决的。归纳远比演绎复杂，须与多学科结合起来进行系统研究。

　　第四，归纳逻辑的研究与当前的科技相互影响、相互作用。申农提出的信息论仅是相当于语形的统计信息模型。而信息的语义层次的研究都出自卡尔纳普之手，再经辛迪卡（Hintikka）等人的论作又已构成信息逻辑这一分支。这揭示了逻辑与信息科学的联系。再如，随着计算机科学、人工智能的研究进展，对归纳的研究日益受到重视。若能将人工智能与归纳结合起来，必将带来新的进展与突破[4]。

　　概率归纳逻辑是归纳逻辑的一个发展阶段，它大大发展了归纳逻辑，也昭示了归纳逻辑的发展机制，为我们出示了现代归纳逻辑发展的方向。

　　参考文献:

　　[1]W.S.Jevous.ThePrinciplesofScience[M].London:DoverPress，1877.197.

　　[2]Hintikka，J.(ed.).RudolfCarnap，LogicalEmpiricist[M].D.ReidelPub.Co.，1995.LIX.

　　[3]Schilpp，P.A.(ed.).ThePhilosophyofRudolfCarnap[M].OpenCourt，1978:72.

　　[4]王雨田.归纳逻辑导引[M].上海:上海人民出版社，1992:12-13.

　　概率论论文（五）：

　　概率论与数理统计课程论文

　　摘要

　　概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。

　　关键字：概率论实践解决问题

　　前言

　　概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，但是大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，个性是像母函数，极限定理等资料与现实脱节很大，专业性很强。其实如果我们用概率论的方法对日

　　常生活中的一些看起来比较平凡的资料做些分析，常常会得到深刻的结果。在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解。大部分人认为一件事概率为0即为不可能事件。这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于0小于1的数，乙来猜。①乙一次猜中这个数②乙每秒猜一次，一向猜下去，“最终”猜中这个数。这两件事发生的概率都是0，但显然它们都有可能发生，甚至能够“直观”的讲②发生的可能性大些。这说明概率为0的事也是有可能发生的。但是在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎样说，它们确是可能事件。

　　来看一个赌博的例子。在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：由庄家摸出一只棋子，放在密闭的盒中，这只棋子能够是红的或黑的将、士、象、车，马、炮之一。赌客们把钱押在一块写有上述12个字（6个红字、6个黑字）的台面的某个字上。押定后，庄家揭开盒子露出原先的棋子。凡押中者（字和色彩都对）以1比10得到赏金，不中者其押金归庄家透过简单计算便知，当一个赌徒押上1元之后，其期望所得（即平均所得）为元，也就是说其净收益的期望为-元。因此这是不公平的赌博。当然了，多数赌徒即使不懂概率论，也就应明白自己参与的是不公平赌博，但是他们由于的侥幸心理，抱着寻求刺激的想法，还是会义无反顾地参与进去。但由概率论的原理我们明白，长期负期望的累积，其结果必然为负，也就是说，长期的赌博，结果必然会输，那种“万一运气好”的侥幸心理是不科学的。所以说，我们不仅仅从社会要求上不应参与赌博，从结果上看，我们也不应赌博。

　　一、概率论的发展简史

　　现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。

　　有人认为，概率论的起源是对赌博的研究，这种看法是不全面的。概率论和其它学科一样，其生命力来源于生产力发展的需要。但是，也应当尊重历史，早期刺激数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求。意大利医生兼数学家卡当，据说曾超多地进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。

　　据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的资料。已知骰子的六个面上分别为1~6点，那么，赌注下在多少点上最有利？

　　卡当说押7最好，因为两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2~12共11种，点数之和为7出现的概率是6/36=1/6，即是最容易出现的和数。

　　在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情务必中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。

　　帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一齐，研究了德美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。概率论从赌博的游戏开始，完全是一种新的数学。此刻它在许多领域发挥着越来越大，十分重要的作用。

　　帕斯卡和费尔玛一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，并将各问题的解法向更一般的状况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。因此能够说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。

　　1.古典概率时期（十七世纪）

　　人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求，经历了相当长的历史时期，甚至能够追溯到远古的原始社会。最早，人们对事物的偶然性并不重视，他们认为这是“微不足道的”，而只注意那些有必须必然规律的现象。但是，严酷的现实使人们感到这种观点是错误的，因为火灾、水灾、地震等偶然现象一当发生，便给人们的生命财产带来不可估量的损失。随之，又认为偶然现象是“可怕的”，“严重的”。但是，在实践中人们又发现，事物的偶然性不仅仅有可怕的一面，也有造福于人类的一面，例如久旱后偶遇甘霖，就是大喜之事。这样，人们开始探

　　讨偶然现象发生的规律性。由于生产力水平，科学文化知识所限，长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢，甚至有人提出它是“神秘的”，“不可捉摸的”。直到唯物辩证法产生，才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。恩格斯在《路德维希费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而我们的问题是在于发现这些规律。”马克思主义的认识论，给人们指出了认识偶然性的正确方法

　　2.初等概率时期(十八世纪)

　　十八世纪，概率论发展很快，几乎初等概率的全部资料都在这个期间构成。在这个期间，概率论工作者以不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把随机现象视为一种特殊的变量—随机变量。恩格斯在《自然辩证法》中指出:“有了变数，运动进入了数学;有了变数，辩证法进入了数学”。随机变量的引入，数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。

　　法国杰出的数学家德莫哇佛尔最早研究了随机变量服从正态分布的情形，发现了正态概率分布曲线。这一重大发现有着不可磨灭的功绩，因为在众多的随机现象中，服从正态分布的随机现象是占绝大多数的。之后，他又发现，许多分布的极限正态分布，并证明了二项分布当p=q=1/2的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理，之后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。

　　1740年，英国数学家心普松的《机会的性质与规律》出版。在书里，他所研究的问题中有一个对产品剔废及检查很重要的问题:设有n件等级不同的产品，n1件属于第一级，n2属于第二级，，我们任意取其中的m件，试求其中取得m1件第一级，m2件第二级，的概率。这就是此刻常用到的多项分布的情形。概率论在二十世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。

　　如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率论诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一向拖了三百年才得以解决。

　　20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。

　　二．概率论的应用

　　1.产品组合问题

　　嘉禾超市在刚开始营业的时候出现一个很不好的现象，就是有的产品很快就售完了，在客户需要的时候没有货，而有的产品总是滞留很多。这就导致了超市的营业额提不上去，甚至有时候还要出现营业额抵不上进货额的状况。为了解决这个问题，嘉禾超市的经理对在之前销售的商品进行统计，得出相应的销售数据。透过对这些数据进行整理分析，从而计算出商品的销售期望，以及得到多少销售额的概率。最终做出最优的商品组合，获得最大的销售利益。嘉禾超市的经理在处理这个问题的过程中，就用到了概率论与数理统计的知识去计算商品销售的概率，计算商品卖出的期望数量，从而做出最优的商品组合。

　　2.投资决策问题

　　下面的透过一个投资决策问题来重点说明概率论与数理统计在生活中的应用。

　　【提出问题】某投资者2003年准备投资购买股票，现有A、B两家公司可供选取，从A、B公司2002年12月31日的有关会计报表及补充资料中获知，2002年A公司发放的每股股利为5元，股票每股市价为40元；2002年B公司发放的每股股利为2元，股票每股市价为20元。预期A公司未来5年内股利恒定，在此以后转为正常增长，增长率为6％；预期B公司股利将持续增长，年增长率为4％，假定目前无风险收益率为8％，市场上所有股票的平均收益率为12％，A公司股票的β系数为2，B公司股票的β系数为1.5。问这两种股票是否值得购买？

　　【解决问题】透过概率论与数理统计的方法分别计算出两个公司股票的期望价值，进而与股票的市场价值进行比较。所以有：）

　　根据资本资产定价模型，A公司股票的必要收益（或报酬）率K1=8%+2*(12%-8%)=16%

　　B公司股票的必要收益（或报酬）率K2=8%+1.5*(12%-8%)=14%

　　所以，A公司的股票预期价值=5(P/A，16%，5)5(1+6%)/(16%-6%)(P/F，16%，5)=53.2743+50.5=40.32》40(元)

　　B公司的股票预期价值=2/(14%-4%)=20.8》20(元)

　　因为A和B公司的股票期望价值均大于其市价，所以两公司股票都能够购买.

　　3.概率论与数理统计在生活中的其他方面的应用以及展望

　　其实除了上面重点说的那两点之外，概率论与数理统计在生活中还有很多应用。像买彩票时，根据历史数据以及各种信息大概的估计买到中奖彩票的概率，从而购买计算出的那个中奖概率最大的那个号码。还有关于抓阄的问题，射击打靶等问题。总之我们生活中所能的大部分随机事件，我们都能够透过概率论与数理统计的方法去发现其规律，进而做出最优、最好的决策。因为概率与统计等问题遍布了我们的社会，所以不管是在科技落后的昨日、日益渐新的这天、以及不久的未来，概率论与数理统计都将是十分有益且使用的一门学科。

　　参考文献

　　《概率论与数理统计》（第四版），主编：盛骤、谢千式、潘承毅《概率论与数理统计学习指导书》（第四版）江西高校出版社

　　概率论论文（六）：

　　概率论与数理统计课程论文

　　201112328零啸

　　概率论的起源与发展

　　摘要：概率论历史相当悠久，本文将介绍概率论产生的历史背景和发展状况，并论及一些优秀的权率论学者在发展这门学科中所作的贡献。英国数学家格雷舍(Glaisher，1848—1928)以前说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史，有助于加深对这门学科研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训，

　　关键词：概率论，起源，发展，古典概率，初等概率，分析概率1．引言

　　概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在必须条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的状况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象

　　的演变状况随机过程。例

　　如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

　　2．概率论的起源

　　现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。

　　有人认为，概率论的起源是对赌博的研究，这种看法是不全面的。概率论和其它学科一样，其生命力来源于生产力发展的需要。但是，也应当尊重历史，早期刺激数学家思考概率论的一些特殊问题是来自赌博者的请求。

　　意大利医生兼数学家卡当，据说曾超多地进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。

　　据说卡当曾参加过这样的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的资料。已知骰子的六个面上分别为1~6点，那么，赌注下在多少点上最有利？

　　卡当说押7最好，因为两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2~12共11种，点数之和为7出现的概率是6/36=1/6，即是最容易出现的和数。

　　在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论。十七世纪中叶，法国贵族德·美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情务必中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。正是这封信使概率论向前迈出了第一步。

　　帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一齐，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。概率论从赌博的游戏开始，完全是一种新的数学。此刻它在许多领域发挥着越来越大，十分重要的作用。

　　帕斯卡和费尔玛一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，并将各问题的解法向更一般的状况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，也解决了掷骰子中的一些数学问题。因此能够说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。3.概率论的发展

　　1.古典概率时期（十七世纪）

　　人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求，经历了相当长的历史时期，甚至能够追溯到远古的原始社会。最早，人们对事物的偶然性并不重视，他们认为这是“微不足道的”，而只注意那些有必须必然规律的现象。但是，严酷的现实使人们感到这种观点是错误的，因为火灾、水灾、地震等偶然现象一当发生，便给人们的生命财产带来不可估量的损失。随之，又认为偶然现象是“可怕的”，“严重的”。但是，在实践中人们又发现，事物的偶然性不仅仅有可怕的一面，也有造福于人类的一面，例如久旱后偶遇甘霖，就是大喜之事。这样，人们开始探讨偶然现象发生的规律性。由于生产力水平，科学文化知识所限，长期以来人们对偶然现象的规律性探求进展十分缓慢，甚至有人提出它是“神秘的”，“不可捉摸的”。直到唯物辩证法产生，才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中指出:“在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而我们的问题是在于发现这些规律。”马克思主义的认识论，给人们指出了认识偶然性的正确方法2.初等概率时期(十八世纪)

　　十八世纪，概率论发展很快，几乎初等概率的全部资料都在这个期间构成。在这个期间，概率论工作者以不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把

　　随机现象视为一种特殊的变量—随机变量。恩格斯在《自然辩证法》中指出:“有了变数，运动进入了数学;有了变数，辩证法进入了数学”。随机变量的引入，数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。

　　法国杰出的数学家德莫哇佛尔最早研究了随机变量服从正态分布的情形，发现了正态概率分布曲线。这一重大发现有着不可磨灭的功绩，因为在众多的随机现象中，服从正态分布的随机现象是占绝大多数的。之后，他又发现，许多分布的极限正态分布，并证明了二项分布当p=q=1/2的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理，之后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。

　　1740年，英国数学家心普松的《机会的性质与规律》出版。在书里，他所研究的问题中有一个对产品剔废及检查很重要的问题:设有n件等级不同的产品，n1件属于第一级，n2属于第二级，，我们任意取其中的m件，试求其中取得m1件第一级，m2件第二级，的概率。这就是此刻常用到的多项分布的情形。3.分析概率时期(十九世纪)

　　在整个十八世纪和十九世纪初叶，概率论风行一时。但是，由于一些学者过分夸大了它的作用，许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去，遭到了失败。这以后，欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏，不可能有重大的具有科学根据的应用。甚至概率论在气体动力论、误差论、射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受到忽视。这些错误之后被形容为“数学诞语”，导致概率论的发展在西欧较长的一段时间(十九世纪下半叶)出现停滞。虽然概率论在这段时期走了一段弯路，但它的发展仍是主流。在这个时期，概率论工作者较好地应用数学工具，使概率论的理论更加严密，基本上完成了概率论作为数学的一个分支应具备的条件。拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的经典著作《分析概率论》。这部著作对十八世纪概率论的研究成果作了比较完美的总结，资料包括几何概率、贝努里定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义，证明了中心极限定理中的德莫哇佛尔—拉普拉斯形式，发展了概率论在观察和测量误差方面的应用。能够说，他是严密地，系统地奠定概率论基础的第一个人。不足之处在于他对概率的定义缺乏深入的讨论，只是企图把任何一个概率问题，

　　勉强纳入简单的等可能模型。他还有很多著作:《论事件原因概率》、《概率论报告》、《关于叙列的报告》、《概率论的哲学探讨》。

　　随着十八，十九世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。

　　法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”，把橡莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想明白的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科

　　概率论在二十世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。

　　如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率论诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一向拖了三百年才得以解决。

　　20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。4.结语

　　此刻，概率论与以它作为基础的数理统计学科一齐，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理

　　统计也是密不可分的。

　　概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到更好的发展。

　　概率论论文（七）：

　　概率论与数理统计小论文

　　关键词：概率论，概率论的发展与应用正文

　　摘要：在现实世界中，随着科学的发展，数学在生活中的应用