什么是抽屉原理

　　学习总结一：

　　什么是抽屉原理？

　　（1）举例

　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉能够放一个，有的能够放两个，有的能够放五个，但最终我们会发现至少我们能够找到一个抽屉里面至少放两个苹果。[由整理]

　　（2）定义

　　一般状况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

　　学习总结二：

　　抽屉原理是什么

　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就能够代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

　　第一抽屉原理

　　原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

　　证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k（k≥1），故不可能。

　　原理2：把多于mn（m乘以n）（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

　　证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。

　　原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。

　　原理1、2、3都是第一抽屉原理的表述。

　　第二抽屉原理

　　把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体（例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2）。

　　在上方的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，。。。，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

　　抽屉原理的一种更一般的表述为：

　　“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么必须有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

　　利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”正因任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，因此7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

　　如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

　　“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么必须有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

　　学习总结三：

　　抽屉原理

　　知识要点

　　抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。

　　把3个苹果放进2个抽屉里，必须有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它能够解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

　　原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎样分，则必须有一类中有2个或2个以上的元素。

　　原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则必须有一个集合呈至少要有k个元素。

　　其中k＝（当n能整除m时）

　　〔〕＋1（当n不能整除m时）

　　（〔〕表示不大于的最大整数，即的整数部分）

　　原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则必须有一个集合里内含无穷多个元素。

　　应用抽屉原明白题的步骤

　　第一步：分析题意。分清什么是"东西"，什么是"抽屉"，也就是什么作"东西"，什么可作"抽屉"。

　　第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关联，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

　　第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

　　例1、教室里有5名学生正在做作业，这天只有数学、英语、语文、地理四科作业

　　求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。

　　证明：将5名学生看作5个苹果

　　将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉

　　由抽屉原理1，必须存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。

　　即至少有两名学生在做同一科的作业。

　　例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

　　解：把3种颜色看作3个抽屉

　　若要贴合题意，则小球的数目务必大于3

　　大于3的最小数字是4

　　故至少取出4个小球才能贴合要求

　　答：最少要取出4个球。

　　例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

　　解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果

　　根据原理1，书的数目要比学生的人数多

　　即书至少需要50+1=51本

　　答：最少需要51本。

　　例4、在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

　　解：把这条小路分成每段1米长，共100段

　　每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果

　　于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果

　　即至少有一段有两棵或两棵以上的树

　　例5、11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不一样类的书，最少借一本

　　试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

　　证明：若学生只借一本书，则不一样的类型有A、B、C、D四种

　　若学生借两本不一样类型的书，则不一样的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种

　　共有10种类型

　　把这10种类型看作10个"抽屉"

　　把11个学生看作11个"苹果"

　　如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉

　　由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同

　　例6、有50名户外员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜

　　试证明：必须有两个户外员积分相同

　　证明：设每胜一局得一分

　　由于没有平局，也没有全胜，则得分状况只有1、2、3。。。。。。49，只有49种可能

　　以这49种可能得分的状况为49个抽屉

　　现有50名户外员得分

　　则必须有两名户外员得分相同

　　例7、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

　　解题关键：利用抽屉原理2。

　　解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：

　　｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝

　　以这9种配组方式制造9个抽屉

　　将这50个同学看作苹果

　　＝5。5。。。。。。5

　　由抽屉原理2k＝〔〕＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的